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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 6 - Aplicaciones de la Integral

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6.18. Graficar las regiones determinadas en cada ítem y calcular su área.
k) K es la región que encierran las curvas y2=x,x=4y^{2}=x, x=4

Respuesta

Atenti con esto. Estas dos no son funciones, de hecho, probá de graficarlas en GeoGebra y vas a ver que para un mismo valor de xx tenemos más de un valor de yy posible, y eso jamás puede ocurrir con una función. Ahora... si nos construimos las funciones

y=x2y = x^2 y y=4y = 4 

el área encerrada entre estas dos funciones va a ser equivalente a la que encierran las curvas del enunciado (de nuevo, ayudate con GeoGebra para graficar y convencerte de eso)

Definimos entonces f(x)=x2f(x) = x^2 y g(x)=4g(x)= 4 y arrancamos...

1) Buscamos los puntos de intersección entre ff y gg

x2=4x^2 = 4

∣x∣=2|x| = 2

Las soluciones de esta ecuación y, por lo tanto, los puntos de intersección son x=2x=2 y x=−2x=-2. 

2) Techo y piso 

En el intervalo (−2,2)(-2,2) podés evaluar ff y gg en cualquier punto y vas a ver que gg es techo y ff es piso. Además era fácil darte cuenta también pensando en los gráficos de las funciones. 

3) Planteamos la integral del área

A=∫−22(g(x)−f(x)) dx=∫−22(4−x2) dxA = \int_{-2}^{2} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx

Resolvemos la integral:

∫−22(4−x2) dx=4x−x33 ∣−22=8−83−(−8+83)=323\int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx = 4x - \frac{x^3}{3} \Big|_{-2}^{2} = 8 - \frac{8}{3} - (-8 + \frac{8}{3}) = \frac{32}{3}

Por lo tanto, el área encerrada es 323\frac{32}{3}
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