Volver a Guía
Ir al curso
CURSO RELACIONADO
Análisis Matemático 66
2024
CABANA
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
6.18.
Graficar las regiones determinadas en cada ítem y calcular su área.
k) K es la región que encierran las curvas $y^{2}=x, x=4$
k) K es la región que encierran las curvas $y^{2}=x, x=4$
Respuesta
Atenti con esto. Estas dos no son funciones, de hecho, probá de graficarlas en GeoGebra y vas a ver que para un mismo valor de $x$ tenemos más de un valor de $y$ posible, y eso jamás puede ocurrir con una función. Ahora... si nos construimos las funciones
Reportar problema
$y = x^2$ y $y = 4$
el área encerrada entre estas dos funciones va a ser equivalente a la que encierran las curvas del enunciado (de nuevo, ayudate con GeoGebra para graficar y convencerte de eso)
Definimos entonces $f(x) = x^2$ y $g(x)= 4$ y arrancamos...
1) Buscamos los puntos de intersección entre $f$ y $g$
$x^2 = 4$
$|x| = 2$
Las soluciones de esta ecuación y, por lo tanto, los puntos de intersección son $x=2$ y $x=-2$.
2) Techo y piso
En el intervalo $(-2,2)$ podés evaluar $f$ y $g$ en cualquier punto y vas a ver que $g$ es techo y $f$ es piso. Además era fácil darte cuenta también pensando en los gráficos de las funciones.
3) Planteamos la integral del área
$A = \int_{-2}^{2} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx$
Resolvemos la integral:
$\int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx = 4x - \frac{x^3}{3} \Big|_{-2}^{2} = 8 - \frac{8}{3} - (-8 + \frac{8}{3}) = \frac{32}{3}$
Por lo tanto, el área encerrada es $\frac{32}{3}$